Cvičení NMAI058 LA2 pro pokročilé, v úterý 17:20

Cvičení vedu spolu s Dušanem Knopem. Pokud se vám nehodí časový termín a přesto byste rádi chodili, napište nám (spolu s důvodem) a uvidíme, co se dá dělat. První cvičení začne až druhý týden v semestru, tedy 1. března.

Jedná se o výběrové cvičení pro talentované studenty. Nebaví-li vás počítání na běžných cvičeních a rádi byste se dozvěděli něco zajímavého? Potom je toto cvičení určeno právě pro vás! V průběhu semestru se podrobněji seznámíme s lineární algebrou, ukážeme si řadu zajímavých úloh a také občas zabrousíme do aplikací lineární algebry, například v analýze, numerice, teorii grafů a řadě dalších oblastí. Můžete si také prohlédnout náš letáček.

Pro získání zápočtu je nutné získat 50 bodů. Body je možné získávat za aktivitu (pokud například ukážete nějaký příklad u tabule nebo budete aktivně řešit) a za řešení domácích úkolu (to budou jak běžné početní příklady, tak i zajímavější problémy). Pokud vás baví přemýšlení, získání zápočtu by neměl být žádný problém. Samozřejmě docházka není nutná, ale můžeme ji jenom doporučit, jinak přijdete o spoustu zajímavých věcí.

Konzultační hodiny nevypisujeme, ale lze si je domluvit po mailu. Ideální doba je například na konci cvičení.

POZOR! Náhradní cvičení se koná ve středu 18.5.2011 v S11 od 17:20.

Domácí úkoly

Domácí úkoly naleznet zde: PDF. Můžete odevzdávat kdykoliv během semestru.

Co jsme dělali na cvičeních

• 1.3.2011 - minipřednáška o předchozím semestru lineární algebry, z pohledu homomorfismů a jak s nimi pracovat, podobné věci jsem před časem povídal na cvičení z počítačové grafiky, slajdy naleznete zde: Procházka světem vektorových prostorů; povídali jsme si o ranku matice a co všechno splňuje; příště budeme pokračovat v podobných věcech.
• 8.3.2011 - další příklady na rank matice a fundamentální prostory matice; matice incidence grafu a jaké jsou její fundamentální prostory popsané kombinatoricky.
• 15.3.2011 - norma jako měření vzdálenosti, skalární součin, základní vlastnosti a příklady (v konečných dimenzích, v nekonečných dimenzích); jak lze z matice incidence rovinného grafu vyvodit Eulerovu formuli.
• 22.3.2011 - Cauchy-Schwarzova nerovnost a aplikace na maximalní počet hran v grafu bez C₄; geometrický význam skalárního součinu na počítání úhlů a projekcí na přímku; proč jsou báze tvořené ortogonálními/ortonormálními vektory hezčí než ty ostatní - ortogonální matice a jejich vlastnosti.
• 29.3.2011 - projekce na obecný podprostor a souvislost s metodou nejmenších čtverců - chceme soustavě, která nemá řešení, co nejméně poupravit pravou stranu, aby řešení začalo existovat; algebraické vlastnosti projekcí a proč tyto vlastnosti už jednoznačně určují, že matice je projekce; kolmost fundamentálních prostorů, akce matice na vektor a souvislost s pseudoinverzí matice - podle obrázku z letáčku.
• 5.4.2011 - geometrická interpretace Gaussovy eliminace; LDU dekompozice matice (zapisujeme si postup Gaussovky do matice L) a souvislost s Choleského rozkladem; determinant matice a několik ekvivalentních definic: suma pres premutace, multilinearní alternujicí forma, součin pivotů matice, geometrická definice přes objemy rovnoběžnostěnů; základní vlastnosti determinantů a determinanty několika jednodušších matic.
• 12.4.2011 - cvičení přesunuto na 20.4.2011.
• 19.4.2011 - determinanty složitějších matic n x n; trik se sečtením všech řádků; determinant Laplaceovy matice počítá počet koster grafu, počet koster K_n; počítání determinantu řidkých matic pomocí rozvoje řádku, ukázka na tridiagonální matice; blokové matice a jejich determinanty; adjungované matice, souvislost s inverzí a Cramerovo pravidlo; složitější determinant Vendermondovy matice a ukázka postupu, který funguje i jinde (bude na tyto příklady nějaký úkol).
• 20.4.2011 - Fourierův rozklad a Fourierova transformace z pohledu lineární algebry a její aplikace (Baselský problém, řešení diferenciálních rovnic, rozklad například zvukového signálu); substituce ve vícerozměrném integrálu a proč se tam objeví Jacobián, determinant Jacobiho matice.
• 26.4.2011 - vlastní čísla, motivace pomocí diferenciálních rovnic, jak se vlastní čísla hledají pomocí determinantu.
• 3.5.2011 - pokračování vlastních čísel; pokud má matice všechna vlastní čísla po dvou různá, potom má n lineárně nezávislých vlastních vektorů; každou matici lze napsat jako součet dvou regulárních matic; vlastní čísla matice grafu a na co se hodí (problém grafového izomorfismu, expanzní faktor grafu pro náhodné procházky); Gershgorinova věta o kruzích a že každý graf má největší vlastní číslo shora omezené maximálním stupněm.
• 10.5.2011 - kvadratické formy a jejich definitnost/semidefinitnost (test pres vlastní čísla, determinanty, ...); obecná definice kuželu a proč všechny pozitivně semidefinitní matice tvoří kužel; pomocí kuželu lze nadefinovat uspořádání.
• 17.5.2011 - jak moc lze matice zdiagonalizovat aneb Jordanova forma; dokončení důkazu Gershorinovy věty o kruzích; každá Laplaceova matice grafu je pozitivně semidefinitní; Sylvesterův zákon setrvačnosti aneb existence hezké báze; znaménka pivotů jsou stejná jako znaménka vlastních čísel a jak pomocí toho numericky počítat vlastní čísla (metoda půlení, která se používala v šedesátých letech).