Cvičení NMAI057 LA1 pro pokročilé, ve čtvrtek 17:20 v S10

První cvičení začne už 2. října. Pokud se vám nehodí časový termín, a přesto byste rádi chodili, napište mi (spolu s důvodem) a uvidíme, co se dá dělat.

Cvičení vedu spolu s Petrem Zemanem. Jedná se o výběrové cvičení pro náročné studenty, kteří se chtějí dozvědět víc. Nebaví-li vás počítání na běžných cvičeních a rádi byste se dozvěděli více zajímavého? Potom je toto cvičení určeno právě pro vás! V průběhu semestru se podrobněji seznámíme s lineární algebrou, ukážeme si řadu zajímavých úloh a naučíme se přemýšlet v pojmech lineární algebry. Také občas zabrousíme do aplikací lineární algebry, například v analýze, numerice, teorii grafů a řadě dalších oblastí. Můžete si prohlédnout letáček a prezentaci z přednášky.

Pro získání zápočtu je nutné získat 100 bodů. Body je možné získávat za aktivitu (pokud například ukážete nějaký příklad u tabule nebo budete aktivně řešit) a za řešení domácích úkolu (to budou jak běžné příklady, tak i zajímavější problémy, tady je ukázka z minulého roku). Pokud vás baví přemýšlení, získání zápočtu by neměl být žádný problém. Pro získání zápočtu je nutné (alespoň) občas na cvičení přijít, ostatně jinak by chození na pokročilé cvičení postrádalo smysl.

Konzultační hodiny nevypisuji, ale lze si je domluvit po mailu. Ideální doba je například na konci cvičení.

Postupně vznikají skripta Povídání o lineární algebře, více informací ZDE.

Na cvičení jsem ukazoval nástroj Orgpad pro modelování mysli, pomocí kterého jsem namodeloval svůj pohled na lineární algebru. Orgpad není ještě úplně dokončení, zkusím ho brzo dodělat. Můžete tento orgpad klidně upravit, přidat si svoje poznámky. Nebo si můžete vytvořit nový vlastní pomocí zip. Ovládání nástroje je: dvojklikem se vytvoří nové textové pole, to se dá přesouvat později a editovat dvojklikem. Pro vytvoření asociace se označí dvě pole a zvolí se create association. Je dobré si orgpad pravidelně ukládat, pomocí Save v menu (vytvoří se lokální kopie). Funguje v Google Chrome a možná Firefoxu.

Domácí úkoly

Úkoly jsou zadávány po sériích, odevzdávat je můžete kdykoliv (ale doporučuji spíše s předstihem).

První série: PDF a PS.
Druha série: PDF a PS.
Třetí série: PDF a PS.

Co jsme dělali na cvičeních

2.10.2014 - myšlenka úprav při řešení soustav lineárních rovnic; Gaussova eliminace jako strategie, jak úpravami zjednodušit soustavu; příklad, kdy při Gaussově eliminaci exponenciálně rostou hodnoty v matici; několik zajímavých soustav: soustava s maticí A, kde (A)_ij = min(i,j) a libovolnou pravou stranou; soustava s maticí, která má na diagonále číslo a, mimo diagonálu číslo b (sečtením všech řádek); jak vypadají pivoti tridiagonální matice, která má na diagonále 2 a vedle diagonály proužek -1; podobně pro tridiagonální matici s 1 na diagonále, 1 nad diagonálou a -1 pod diagonálou; praktické problémy při implementaci Gaussovy eliminace; spotřeba elektrické energie při Gaussově eliminaci z článku.

9.10.2014 - složitost Gaussovy eliminace je n³/3, podle vzorce pro součet čtverců; odvození, že pro libovolný polynom P stupně nejvýše k je součet P(1)+P(2)+...+P(n)=Q(n) polynom stupně nejvýše k+1, přes hokejkovou identitu v Pascalově trojúhelníku; určování koeficientů polynomu procházející danými body přes řešení soustav lineárních rovnic a myšlenka Lagrangeovy interpolace geometricky; vektorový prostor Rⁿ; řádková a sloupcová geometrická interpretace soustavy lineárních rovnic a kroků Gaussovy eliminace.

16.10.2014 - definice vektorového podprostoru jako množiny vektorů uzavřené na sčítání a násobení skalárem; každý vektorový podprostor obsahuje 0; průnik vektorových podprostorů je podprostor, ale pro sjednocení to neplatí; podprostory R³ jsou počátek, přímky počátkem, roviny počátkem a celý prostor; pro libovolnou soustavu s pravou stranou nulovou je její množina řešení vektorový podprostor, zvaný jádro Ker(A); afinní podprostory W+p jako vektorové podprostory posunuté z počátku; W+p=W+q, pokud p-q leží ve W; klíčová věta: pro libovolnou soustavu je množina všech řešení afinní podprostor Ker(A)+x, kde x je libovolné řešení Ax=b.

23.10.2014 - rozdíl mezi abstraktními a konstruktivními definicemi matematických pojmů; co jsou to vlastně reálná čísla; abstraktní definice vektorového prostoru, odvození jednotlivých vlastností; hraní si s těmito vlastnostmi a jejich důsledky; příklady vektorových podprostorů; každý vektorový podprostor má algebraicky totožnou strukturu s Rⁿ, což se nazývá izomorfismus; rychlý pohled do teorie množin a že existuje bijekce mezi R a R², i když mají jinou algebraickou strukturu.

30.10.2014 - struktura vektorových podprostorů tvoří svaz; infima jsou průniky, suprema jsou lineární obaly (nejmenší podprostor, co obsahuje danou množinu podprostorů); jak vypadá struktura svazu pro R³; úvod do matic; obecně matice nekomutují vzhledem na násobení; matice, které komutují se všemi maticemi, jsou přesně násobky jednotkové matice.

6.11.2014 - úvod do inverzí matic; pravé inverze a kdy existují; levé inverze a souvislost s transpozicí; LU dekompozice jako maticový zápis Gaussovy eliminace.

13.11.2014 - opakování z minule pro nepřítomné studenty; aplikace LU dekompozice na dokázání, že čtvercová matice má inverzi z jedné strany, právě když ji má z druhé (a takové matice se nazývají regulární a mají jednoznačnou inverzi); úvod do lineárních kombinací a nezávislosti.

20.11.2014 - cvičení zrušeno.

27.11.2014 - jak co nejjednodušeji popsat vektorový podprostor; ten je uzavřený na libovolnou posloupnost operací s vektory, které jsou všechny ekvivalentní lineárním kombinacím; lineární obal je množina všech lineárních kombinací dané množiny vektorů, a zároveň nejmenší vektorový podprostor, co dané vektory obsahuje; pojem nezávislosti množiny vektorů, že neobsahují žádný nadbytečný vektor; báze podprostoru je množina vektorů, která generuje vektorový podprostor a je lineárně nezávislá; báze zavadí nad podprostorem systém souřadnic a umožnuje ho zidentifikovat s Rⁿ (což je izomorfismus, více příště); Steinitzova věta o výměně a její důsledek, že libovolné dvě báze jsou stejně velké; srovnání vektorových podprostorů a grup, kde báze nedává smysl uvažovat.

4.12.2014 - motivace pro využívání různých bází, protože mohou zjednodušit problémy: Lagrangeova interpolace a výpočet n-tého členu Fibonacciho posloupnosti; úvod do lineárních zobrazení neboli homomorfismů; základní geometrické příklady, vnořovací a kvocientové homomorfismy, souvislost s afinními podprostory; maticová reprezentace lineárního zobrazení pomocí volby dvou bází X a Y, potom lineární zobrazení mapuje x na Ax; příklad matice pro rotaci v rovině a pro ortogonální projekci na rovinu v R³ (s vhodnou volbou báze).

11.12.2014 - historická motivace pro studium homomorfismů a pohled na současnou matematiku jako na studium matematických struktur a jejich vhodných morfismů; podprobněji o maticových reprezentacích lineárního zobrazení; význam dvou zvolených bází X a Y; lineární zobrazení je přiřazení Ax vektoru x, kde zobrazujeme od báze X k bázi Y; hledání vzorů vede na řešení soustav Ax=b, a řešení je vždy afinní podprostor; skládání lineárních zobrazení je možné jen, pokud se prostřední vektorový prostor shoduje a odpovídá násobení matic; inverzní zobrazení může existovat zleva, zprava nebo i z obou stran a odpovídá inverzím; příklad lineárního zobrazení rotace vůči různým bázím X a Y; lineární zobrazení integrál a derivace pro prostory polynomů, které jsou inverze pouze z jedné strany (dává smysl z pohledu analýzy); matice sousednosti grafu a její interpretace jako lineárního zobrazení; obrázek k fundamentální větě lineární algebry a jeho vysvětlení.

18.12.2014