Cvičení NMAI058 LA2 pro pokročilé, v úterý 17:20 v S4

Cvičení vedu spolu s Petrem Zemanem. Jedná se o výběrové cvičení pro náročné studenty, kteří se chtějí dozvědět víc. Nebaví-li vás počítání na běžných cvičeních a rádi byste se dozvěděli více zajímavého? Potom je toto cvičení určeno právě pro vás! V průběhu semestru se podrobněji seznámíme s lineární algebrou, ukážeme si řadu zajímavých úloh a naučíme se přemýšlet v pojmech lineární algebry. Také občas zabrousíme do aplikací lineární algebry, například v analýze, numerice, teorii grafů a řadě dalších oblastí. Můžete si prohlédnout letáček a prezentaci z přednášky.

Pro získání zápočtu je nutné získat 100 bodů. Body je možné získávat za aktivitu (pokud například ukážete nějaký příklad u tabule nebo budete aktivně řešit) a za řešení domácích úkolu (to budou jak běžné příklady, tak i zajímavější problémy, tady je ukázka z minulého roku). Pokud vás baví přemýšlení, získání zápočtu by neměl být žádný problém. Pro získání zápočtu je nutné (alespoň) občas na cvičení přijít, ostatně jinak by chození na pokročilé cvičení postrádalo smysl.

Konzultační hodiny nevypisuji, ale lze si je domluvit po mailu. Ideální doba je například na konci cvičení.

Postupně vznikají skripta Povídání o lineární algebře, více informací ZDE. Z letního semestru vytvářím ručně psané zápisky: PDF a PDF s okrajem.

Na cvičení v zimě jsem ukazoval nástroj Orgpad pro modelování mysli, pomocí kterého jsem namodeloval svůj pohled na lineární algebru. Orgpad není ještě úplně dokončení, zkusím ho brzo dodělat. Můžete tento orgpad klidně upravit, přidat si svoje poznámky. Nebo si můžete vytvořit nový vlastní pomocí zip. Ovládání nástroje je: dvojklikem se vytvoří nové textové pole, to se dá přesouvat později a editovat dvojklikem. Pro vytvoření asociace se označí dvě pole a zvolí se create association. Je dobré si orgpad pravidelně ukládat, pomocí Save v menu (vytvoří se lokální kopie). Funguje v Google Chrome a možná Firefoxu.

Domácí úkoly

Úkoly jsou zadávány po sériích, odevzdávat je můžete kdykoliv (ale doporučuji spíše s předstihem). Je také možné omezeně odevzdávat úlohy z minulého semestru (pokud jste je dosud neodevzdali v zimním semestru).

• První série: PDF a PS.
• Druhá série: PDF a PS.
• Třetí série: PDF a PS.

Co jsme dělali na cvičeních

• 17.2.2015 - úvodní cvičení; opakování věcí ze zimního semestru, hlavně vztah mezi maticemi a lineárními zobrazeními; podobnost a maticová ekvivalence, aneb kdy dvě matice reprezentují stejné lineární zobrazení vůči dvěma bázím; myšlenka algebraických těles, které umožňují zobecnit pojem vektorového prostoru; snaha o zavedení dalších geometrických pojmů do lineární algebry: délka vektoru a ortogonalita (kolmost); to vede k zavedení standardního skalárního x^Ty, kde norma je odmocnina z x^Tx a vektory x a y jsou ortogonální, právě když x^Ty=0; pokud je množina nenulových vektorů vzájemně kolmá, je lineárně nezávislá; ortogonální doplněk a některé jeho vlastnosti; pro libovolnou matici jsou její fundamentální podprostory ortogonální doplňky, kernel je doplňek řádkového prostoru a obraz je doplňek kernelu matice transponované. Zápisky: PDF
• 24.2.2015 - abstraktní definice normy a skalárního součinu přes vlastnosti; skalární součin indukuje normu (bez důkazu); hierarchie geometričnosti prostorů (se skalárním součinem, pouze s normou, s metrikou, s topologií); příklady nestandardních skalárních součinů (váhy pro směry, ...); příklady s pozitivně definitní maticí A a skalární součin je x^TAy; důkaz, že každý skalární součin je tohoto typu, přes volbu báze a Gramovu matici; Choleského rozklad pozitivně definitní matice A = R^TR a proto obecný skalární součin odpovídá standardnímu skalárnímu součinu vůči jiné volbě báze; nestandardní normy jsou bohatší a geometrická definice. Zápisky: PDF.
• 3.3.2015 - cvičení zrušeno.
• 10.3.2015 - ortogonální projekce na přímku; Cauchy-Schwarzova nerovnost; ortogonální projekce na obecný podprostor; charakterizace přes P²=P a P^T=P. Zapisky: PDF.
• 17.3.2015 - ortogonální báze; motivace pro ortogonální bázi (výhodné numerické vlastnosti, snadný výpočet souřadnic - ukázka Fourierovy řady); dva důkazy existence rozšíření libovolné nenulové ortogonální množiny na ortogonální bázi; Gram-Schmidtova ortogonalizační metoda a její numerická nevýhodnost; QR rozklad jako maticový zápis Gram-Schmidtovy ortogonalizace a alternativní postup přes Householderovy reflexe a Givensovy rotace. Zapisky: PDF
.
• 24.3.2015 - metoda nejmenších čtverců: historie, motivace a souvislost se statistikou (lineární regrese); řešení pomocí normální rovnice a nalezení matice pro kolmou projekci; lemma, že Ker(A^TA) = Ker(A); zavedení determinantu přes formuli a základní vlastnosti. Zapisky: PDF
.