Cvičení NMAI057 LA1 pro pokročilé, ve středu 17:20 v S7

První cvičení začne až třetí týden v semestru, tedy 16. října. Pokud se vám nehodí časový termín, a přesto byste rádi chodili, napište mi (spolu s důvodem) a uvidíme, co se dá dělat.

Cvičení vedu spolu s Petrem Zemanem. Jedná se o výběrové cvičení pro náročné studenty, kteří se chtějí dozvědět víc. Nebaví-li vás počítání na běžných cvičeních a rádi byste se dozvěděli více zajímavého? Potom je toto cvičení určeno právě pro vás! V průběhu semestru se podrobněji seznámíme s lineární algebrou, ukážeme si řadu zajímavých úloh a naučíme se přemýšlet v pojmech lineární algebry. Také občas zabrousíme do aplikací lineární algebry, například v analýze, numerice, teorii grafů a řadě dalších oblastí. Můžete si prohlédnout letáček a prezentaci z přednášky.

Pro získání zápočtu je nutné získat 100 bodů. Body je možné získávat za aktivitu (pokud například ukážete nějaký příklad u tabule nebo budete aktivně řešit) a za řešení domácích úkolu (to budou jak běžné příklady, tak i zajímavější problémy, tady je ukázka z minulého roku). Pokud vás baví přemýšlení, získání zápočtu by neměl být žádný problém. Pro získání zápočtu je nutné (alespoň) občas na cvičení přijít, ostatně jinak by chození na pokročilé cvičení postrádalo smysl.

Konzultační hodiny nevypisuji, ale lze si je domluvit po mailu. Ideální doba je například na konci cvičení.

Postupně vznikají skripta Povídání o lineární algebře, více informací ZDE.

Domácí úkoly

Úkoly jsou zadávány po sériích, odevzdávat je můžete kdykoliv (ale doporučuji spíše s předstihem).

• První série: PDF a PS.
• Druha série: PDF a PS.
• Třetí série: PDF a PS.

Co jsme dělali na cvičeních

• 16.10.2013 - proč jsou pro matematiky tolik zajímavé rovnice; co jsou to algoritmy a příklady algoritmicky nerozhodnutelných problémů; jak funguje Gaussova eliminace dopodrobna; příklad, kdy při Gaussově eliminaci exponenciálně rostou hodnoty v matici; dvě geometrické interpretace soustav lineárních rovnic - řádková a sloupcová; několik zajímavých soustav: soustava s maticí A, kde (A)_ij = min(i,j) a libovolnou pravou stranou; soustava s maticí, která má na diagonále číslo a, mimo diagonálu číslo b (sečtením všech řádek); jak vypadají pivoti tridiagonální matice, která má na diagonále 2 a vedle diagonály proužek -1; podobně pro tridiagonální matici s 1 na diagonále, 1 nad diagonálou a -1 pod diagonálou.
• 23.10.2013 - hromadná konzultace kvůli rektorskému dni; dokončení soustav s tridiagonálními maticemi, pivoti jedné jsou (i+1)/i a druhé Fibonacciho čísla; problém nalezení polynomu stupně n procházející danými n+1 body lze vyřešit soustavou; Lagrangeova interpolace odpovídá inverzi této soustavy; složitost Gaussovy eliminace je 1/3 n³, protože je to součet čtverců a jak se tento vzoreček odvodí; praktické aspekty implementace Gaussovy eliminace a základní podrutin lineární algebry (BLAS).
• 30.10.2013 - praktická ukázka měření spotřeby elektrické energie při Gaussově eliminace; geometrie a zavedení souřadného systému; vektory jsou uspořádané n-tice reálných čísel a zobecňují geometrii; vektorové prostory jsou množiny všech vektorů, spolu s operacemi sčítání a násobení skalárem po složkách; vektorový podprostor je neprázdná množina uzavřená na operace; průnik podprostorů je zase podprostor, sjednocení nefunguje; množina všech řešení Ax=0 tvoří vektorový podprostor; afinní podprostor W + p jsou vektorový podprostor W posunutý z počátku o vektor p; různé reprezentace stejného afinního podprostoru; soustava Ax=b má množinu všech řešení rovnu afinnímu podprostoru Ker(A) + x, kde x je libovolné řešení soustavy.
• 6.11.2013 - svazy vektorových podprostorů; úvod do matic; matice spolu na násobení nekomutují a které matice komutují se vším.
• 13.11.2013 - zavedení pravé a levé inverze pro obecné obdélníkové matice; pro matici A existuje pravá inverze, právě když soustava Ax=b má řešení pro libovolnou pravou stranu; potom matice A musí být alespoň tak široká jako vysoká; tedy pro obdélníkové matice existuje inverze nejvýše z jedné strany, ale není potom určena jednoznačně; pro čtvercové matice může existovat oboustranná inverze a zázrak lineární algebry říká, že inverze, pokud existuje, je vždy oboustranná a určená jednoznačně; třídy trojúhelníkových matic jsou uzavřené na součet, součin a invertování; LU dekompozice jako maticový zápis Gaussovy eliminace a proč z ní vyplývá výše uvedená věta.
• 20.11.2013 - posloupnosti vektorových operací jsou ekvivalentní lineárním kombinacím; lineární obaly, nezávislost a závislost; báze, věta o izomorfismu aneb každý prostor je izomorfní Rⁿ; Stenitzova věta a dimenze podprostoru.
• 27.11.2013 - lineární algebra přes lineární zobrazení neboli homomorfismy; historická motivace pro homomorfismy; pokud známe obrazy báze, známe už všechno; proto každé lineární zobrazení lze reprezentovat při volbě dvou bází X a Y tak, že si zapíšeme souřadnice obrazu každého vektoru z X vůči bázi Y, tyto souřadnice poskládáme do tabulky, které říkáme matice; násobení matice krát vektor odpovídá vypočítání obrazu daného vektoru; řešení soustavy odpovídá hledání všech vzorů daného vektoru; násobení matic odpovídá skládání zobrazení a inverzní zobrazení odpovídá inverzní matici; vzorem lineárně nezávislé množiny je lineárně nezávislá množina, vzorem podprostoru je podprostor; příklad zobrazení rotace, kolmá projekce na osu x a derivace na polynomech, která má pravou inverzi integrál (a levá inverze neexistuje).
• 4.12.2013 - fundamentální podprostory matice a hodnost matice; klíčový obrázek toho, jak vypadá lineární obrázek z pohledu fundamentálních podprostorů; rank je omezený menším z rozměrů matice; obraz podprostoru je podprostor a má dimenzi nejvýše rovnu dimenzi vzoru; horní odhady pro rank součtu a součinu matic; násobení regulární (dokonce i invertovatelnou maticí) nemění rank, dokonce regulární matici lze definovat tak, že při násobení libovolné matice zleva i zprava nezmění její rank; důkaz pomocí LU dekompozice, že rank matice a její transpozice je stejný, alternativně sloupcový a řádkový podprostor má stejnou dimenzi.
• 11.12.2013 - nezávislost fundamentálních podprostorů; matice ranku jedna; definice algebraického tělesa a základní vlastnosti.
• 18.12.2013 - úvod do teorie grup; Cayleyho věta, že každá grupa se dá reprezentovat jako grupa permutací.
• 8.1.2014 - Cayleho grafy jako reprezentace grupy; podgrupy, cosety jako posunuté kopie, Lagrangeova věta; faktorizace podle normální podgrupy; přímý a polopřímý součin grup (ilustrace obrázky); klasifikace konečných jednoduchých grup a její historie; aplikace teorie grup a motivace pro jejich zkoumání.
• 15.1.2014 - bonusové závěrečné cvičení, děkuji dvěma studentům, kteří přišli; matematické modelování a vztah matematiky a reálného světa; chyby na různých úrovních řešení reálných problémů (matematický model, diskretizace, numerické řešení); úvod do diferenciálních rovnic, příklad hledání primitivní funkce, neomezený populační růst a kyvadlo (bez utlumení); diferenciální rovnice jsou o hledání vzorů lineárních zobrazení, a tedy teorie lineární algebry se aplikuje i zde, například řešení je afinní podprostor tvořený posunutím kernelu do libovolného řešení; tři různé numerické metody diskretizace diferenciálních rovnich: metoda konečných diferencí, metoda konečné mřížky a metoda konečných prvků.