Cvičení NMAI058 LA2 pro pokročilé, v úterý 17:20

První cvičení začne až druhý týden v semestru, tedy 26. února. Pokud se vám nehodí časový termín, a přesto byste rádi chodili, napište mi (spolu s důvodem) a uvidíme, co se dá dělat. Na cvičení můžete chodit, i když jste ho nenavštěvovali v zimním semestru, zkusíme si všechno vysvětlit tak, aby se to dalo zvládnout.

Jedná se o pokračování výběrového cvičení pro náročné studenty, kteří se chtějí dozvědět víc. Nebaví-li vás počítání na běžných cvičeních a rádi byste se dozvěděli více zajímavého? Potom je toto cvičení určeno právě pro vás! Budeme pokračovat v práci ze zimního semestru a získáme znalost pokročilých oblastí lineární algebry, jako je ortogonalita, vlastní čísla nebo pozitivně definitní matice. Také občas zabrousíme do aplikací lineární algebry, například v analýze, numerice, teorii grafů a řadě dalších oblastí. Můžete si prohlédnout letáček a prezentaci z přednášky.

Pro získání zápočtu je nutné získat 100 bodů. Body je možné získávat za aktivitu (pokud například ukážete nějaký příklad u tabule nebo budete aktivně řešit) a za řešení domácích úkolu (to budou jak běžné početní příklady, tak i zajímavější problémy, ukázka příkladů ze zimního cvičení: sada 1 a sada 2. Pokud vás baví přemýšlení, získání zápočtu by nemělo být obtížné. Pro získání zápočtu je nutné (alespoň) občas na cvičení přijít (nechci dostávat úkoly od někoho, koho jsem za semestr nikdy neviděl třeba), ostatně jinak by chození na pokročilé cvičení postrádalo smysl.

Konzultační hodiny nevypisuji, ale lze si je domluvit po mailu. Ideální doba je například na konci cvičení.

Postupně vznikají skripta Povídání o lineární algebře, více informací ZDE.

Domácí úkoly

Úkoly jsou zadávány po sériích, odevzdávat je můžete kdykoliv (ale doporučuji spíše s předstihem).

• První série: PDF a PS.
• Druhá série: PDF a PS.

Co jsme dělali na cvičeních

• 26.2.2013 - co je to skalární součin a co je to norma; srovnání abstaktní definice skalárního součinu a standardního skalárního součinu; pro každý skalární součin existuje pozitivně definitní matice P, že tento skalární součin <x|y> je výraz x^TPy, a naopak každá pozitivně definitní matice definuje takto skalární součin; každý skalární součin indukuje normu, ale naopak není pravda, že s každou normou je spojený skalární součin; norma ||x|| je jednoznačně určena, pokud známe všechny vektory s ||x||=1, a ty vektory můžeme vyznačit geometricky; pro každou normu je množina ||x||<=1 konvexní a symmetrická podle počátku.
• 5.3.2013 - standartní norma počítá geometrickou vzdálenost v Rⁿ; dva vektory jsou ortogonální, pokud je jejich skalární součin nulový a geometrické zdůvodnění přes Pythagorovu větu; kolmá projekce vektoru na přímku, kde koeficient je podíl dvou skalárních součinů; Cauchy-Schwartzova věta říká, že délka této projekce je vždy nezáporná, důkaz v PDF; každá množina nenulových po dvou ortogonálních vektorů je lineárně nezávislá; Gram-Schmidtova ortogonalizace jako proces, při kterém se odčítá kolmá projekce vektorů na předchozí vektory a který produkuje ortogonální systém vektorů; protože se zachovává lineární obal, vyplývá z toho rozšířitelnost libovolné ortogonální množiny na ortogonální bázi.
• 12.3.2013 - ortogonalita podprostorů a ortogonální doplněk; ortogonální doplněk ortogonálního doplňku V je opět V, důkaz pomocí ortogonální báze; řádkový prostor a kernel jsou svoje ortogonální doplňky, a podobně pro image a kernel matice transponované; ortogonální matice a jejich užitečné vlastnosti; metoda nejmenších čtverců jako úprava neřešitelné soustavy Ax=b na řešitelnou Ax'=b', přičemž chceme minimalizovat ||b-b'||; to odpovídá tomu, že chceme projektovat b na image matice A; matice P ortogonální projekce na podprostor splňuje P=P² a P=P^T; přechod k normální rovnici A^TAx=A^Tb, která má vždy řešení a odpovídá to x'; pokud sloupečky matice A jsou lineárně nezávislé, potom je A^TA regulární matice a kolmá projekce P na podprostor určený A je matice A(A^TA)^-1A^T.
• 13.3.2013 - bonusová hodina na Hilbertovy prostory a Fourierovu transformaci; dokončení metody nejmenších čtverců s alternativními odvozeními a další souvislosti s ortogonalitou fundamentálních podprostorů; Hilbertův prostor funkcí a posloupností, na kterých lze nadefinovat skalární součin; možnosti, jakými způsoby můžeme definovat vzdálenost na prostorech (topologie, metrika, norma, skalární součin) a jejich srovnání; Fourierova transformace je přechod od kanonické báze do ortogonální báze složené z trigonometrických funkcí; díky ortogonalitě je možné provést transformaci efektivně, neboť koeficienty jsou rovny skalárním součinům, což jsou integrály; Fourierova transformace zjednodušuje differenciální rovnice a to byla původní Fourierova motivace; Bazilejský problém, že součet 1/k²=pi²/6, důkaz přes Fourierovu řadu a Pythagorovu větu.
• 19.3.2013 - cvičil Peter Zeman; determinant matice a jeho alternativní definice; odvození základních vlastností determinantu; výpočet determinantů pomocí Gaussovy eliminace; determinanty matic se speciální strukturou; formule pro rozvoj determinantu podle řádku/sloupce.
• 26.3.2013 - různé pohledy na determinant a jeho historii; definice determinantu jako multilineární alternující formy (detaily v úkolu 3) a definice přes objem rovnoběžnostěnu určeného sloupcovými vektory matice; Adjungovaná matice je skoro inverzní matice a z toho odvození Cramerova pravidla; Cramerovo pravidlo není užitečné pro výpočty, ale má význam teoreticky (například v teorii složitosti, abychom dokázali náležení lineárního programování do NP); Jacobian (determinant Jacobiho matice složené z parciálních derivací) v substituci vícerozměrného integrálu: prezentace.
• 2.4.2013 - úvod do vlastních čísel, motivace přes řešení differenčních systémů a najití té nejhezčí báze pro lineární zobrazení; přičtení alpha k diagonále zvětší všechna vlastní čísla o alpha; vlastní číslo je nula právě když má matice netriviální kernel; hledáme všechny lambdy, že A-lambda*I je singulární, tedy má nulový determinant; z toho dostaneme, že vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu, a je jich přesně n; pro různá vlastní čísla jsou vlastní vektory lineárně nezávislé; důkaz Gershgorinovy věty o kruzích spolu s aplikacemi.
• 9.4.2013 - cvičil Peter Zeman; výpočet vlastních čísel pro zajímavé matice; součet vlastních čísel je stopa a součin je determinant.
• 16.4.2013 - pokud je matice hermitovská (symetrická), potom má všechna vlastní čísla reálná; unitární matice jsou komplexní verze ortogonálních; Schurova dekompozice UTU^H vždy existuje; pro normální matice AA^H = A^HA platí, že T je diagonální matice; ortogonální báze tvořená z vlastních vektorů existuje, právě když je matice normální.
• 23.4.2013 - aplikace vlastních čísel v teorii grafů na náhodné procházky; co jsou stochastické a dvojitě stochastické matice, transformují vektor pravděpodobnostní distribuce na jiný vektor pravděpodobnostní distribuce, odpovídající jednomu kroku náhodné procházky; podle Gershgorinovy věty jsou všechna vlastní čísla menší či rovna jedné (v absolutní hodnotě); podle Perron-Frobeniovy věty existuje vlastní vektor s pozitivními souřadnicemi a vlastním číslem jedna; pro k-regulární grafy je vektor samých jedniček vlastní vektor s vlastním číslem 1 (pro pravděpodobnostní matici), a čím menší je hodnota druhého vlastního čísla, tím rychleji konverguje procházka k rovnoměrné distribuci; expandér je graf, který má krátké vzdálenosti.
• 30.4.2013 - aplikace vlastních čísel na differenciální rovnice a maticové exponenciály; Jordanova normální forma, důkaz její existence.
• 7.5.2013 - cvičil Jirka Šejnoha; pozitivně definitní matice a jejich aplikace na hledání extrémů v analýze; různá kriteria pozitivní definitnosti a jejich ekvivalence.
• 14.5.2013 - cvičil Peter Zeman; v podstatě to samé s disjunktní skupinou studentů.
• 21.5.2013 - pokračování pozitivně definitních matic; věta o proplétání vlastních čísel symetrických matic a její aplikace na vztah vlastních čísel a principiálních minorů (determinantů čtvercových podmatic); rovnice x^TAx = 1 dává pro pozitivně definitní matici elipsu jejíž osy jsou ve směru vlastních vektorů (které jsou kolmé); jak vypadají stejné kvadratické formy uvažované vůči různým bazím; Sylvestrův zákon setrvačnosti a jeho topologický důkaz.
• 28.5.2013 - plán: bonusová hodina v S11, pokročilé věci týkající se pozitivně definitních matic a numerické problémy lineární algebry.