Cvičení NMAI054 MA, ve středu od 12:20 S6, kruh 33

Pro získání zápočtu je potřeba získat alespoň 100 bodů z domácích úkolů a napsat započtovou písemku alespoň na 50% (z níž se body započítají i ke zkoušce). Body lze získat následujícími způsoby:

• Za aktivitu na cvičení a řešení příkladů u tabule.
• Za řešení domácích úkolů zadávaných na jednotlivých cvičeních.

Domácí úkoly budou vždy zadávány ze sady příkladů, které budeme počítat na cvičení. Na jejich vypracování bude čas jeden týden, potom problematické příklady probereme. Úkoly se odevzdávají písemně na cvičeních. Na daném cvičení si pak ukážeme i jejich řešení. Navíc některé obtížnější úkoly mají otevřený časový limit do konce semestru. K některým úkolům navíc asi sepíšu další návodný text, v kterém budete mít za úkol vyřešit jenom některé části důkazů. Výhodou takových úloh je to, že člověk získá přečtením textu a jeho rozmyšlením docela dost znalostí. Samotné podúlohy nebudou většinou těžké.

Konzultační hodiny nevypisuji, ale lze si je domluvit po mailu. Ideální doba je například na konci cvičení.

Domácí úkoly

1. 03.10.2012 - vyřešte 8cd (5 bodů) a 9 (5 bodů) (velké Pí je obdoba sumy, součin přes prvky uvnitř) ze sady příkladů: PDF PS.
2. 10.10.2012 - vyřešte 11 (po 5 bodech), 12fg (po 5 bodech), 15c (5 body), 16 obecně (8 bodů) ze sady příkladů: PDF PS.
3. 17.10.2012 - vyřešte 3 (5 bodů) ze sady příkladů: PDF PS.
4. 24.10.2012 - vyřešte 2ef (po 5 bodech) ze sady příkladů: PDF PS.
5. 31.10.2012 - vyřešte 1de (5 bodů) a 6 (8 bodů) ze sady příkladů: PDF PS.
6. 14.11.2012 - vyřešte úlohy 8 (po 5 bodech), 9 (8 bodů), 10 (8 bodů) a 11 (8 bodů) ze sady příkladů: PDF PS.
7. 21.11.2012 - vyřešte úlohy 3bc (po 5 bodech), 4b (5 bodů) a 6 (5 bodů) a 8cd (po 5 bodech) ze sady příkladů: PDF PS.
8. 28.11.2012 - vyřešte úlohy 2cd (po 5 bodech), 5cd (po 5 bodech) a 6cdefg (po 5 bodech) ze sady příkladů: PDF PS.
9. 5.12.2012 - vyřešte úlohu 1efgh (po 3 bodech) ze sady příkladů: PDF PS.
10. 10.12.2012 - vyřešte úlohu 2b (5 bodů), 3b (5 bodů), 4 (8 bodů), 6 (po 3 bodech) ze sady příkladů: PDF PS.
11. 12.12.2012 - vyřešte úlohu 3cfghi (po 4 bodech), 4b (5 bodů), 5 (8 bodů) a 6b (5 bodů) ze sady příkladů: PDF PS.

Těžké domácí úkoly naleznete zde: PDF a PS, zatím obsahuje povídání o konstrukci reálných čísel pomocí Dedekindových řezech.

Co jsme dělali na cvičeních

• 03.10.2012 - o číselných oborech/systémech a jejich vlastnostech; princip dobrého uspořádání přirozených čísel a jeho ekvivalence s axiomem indukce; důkaz indukcí v úlohách 7 a 8, z papíru; rozdíl mezi konstruktivním a nekonstruktivním důkazem. Sada příkladů: PDF PS.
• 10.10.2012 - ukázka chybného důkazu, že A=B implikuje A=0; úloha 9 z první řady implikuje, že existuje nekonečně mnoho prvočísel; jak operace + a * chovají vůči racionálním číslům a nekonstruktivní důkaz existence a,b iracionálních, že a^b je racionální; důkaz pomocí binomické věty, že 2ⁿ > n²; grafy funkcí; úpravy nerovností; známé vzorce. Sada příkladů: PDF PS.
• 17.10.2012 - různé důkazy, že e^ix = cos x + i sin x (pomocí Taylorova rozvoje, geometrický pomocí diferenciální rovnice); čtení výroků s kvantifikátory a rozhodování pravdivosti; ukázka, že na pořadí kvantifikátorů záleží; definice okolí reálného čísla a jeho aritmetika. Sada příkladů: PDF PS.
• 24.10.2012 - definice suprema, infima, axiom o supremu pro reálná čísla; pokud existuje minimum, pak existuje i infimum a je rovné minimu, podobně pro suprema a maxima; existence suprem, infim, maxim a minim pro různé množiny; další úlohy na suprema a infima z papíru; důkaz Cantorovy věty a příklad, že nemusí platit pro racionální čísla. Sada příkladů: PDF PS.
• 31.10.2012 - úvod do limit, jejich definice a fyzikální interpretace s přesností měření; počítání limit z definice; limita vybrané podposloupnosti; limita absolutních hodnot posloupnosti a její vztah s limitou původní posloupnosti. Limita jako krabička se vstupem epsilon a výstupem n₀, pomocí toho různé schémata důkazů. Sada příkladů: PDF PS.
• 7.11.2012 - hodina zrušena kvůli imatrikulaci.
• 14.11.2012 - další tvrzení o limitách; příklady 7abc. Sada příkladů: PDF PS.
• 21.11.2012 - cvičila Naděžda Krylová; příklady na aritmetiku limit; úlohy 1-5 a 8; ukázka použití věty o policajtech k dokázání hodnoty limity, aniž bychom se museli zabývat epsilon-delta definicí; Sada příkladů: PDF PS.
• 28.11.2012 - cvičila Naděžda Krylová; z předchozí sady naznačen důkaz aritmetiky limit pro součet a součin; limity lze srovnávat s limitou geometrické posloupnosti (podobné podílovému a odmocninovému kriteriu pro řady); znění věty o policajtech z příkladu 1; příklady 2abf; odhady faktoriálů; příklad 5abe; vysvětlení, proč funguje postup na řešení rekurentně zadaných posloupností; ukázka na příkladu 6b; Sada příkladů: PDF PS.
• 5.12.2012 - z minula jsme řešili rekurentně zadané posloupnosti a ukázali si to na příkladu 6a; pro 6h posloupnost nemá limitu, i když není jednoduché to dokázat (což ilustruje, že nestačí nalézt kandidáty na limity, musí se i dokázat, že limita existuje), je to ukázka chaotické rekurence, jejíž průběh se hodně změní i při malé počáteční hodnotě: PDF; konvergence řady znamená, že posloupnost částečných součtů má limitu; většinou chceme zjistit pouze konvergenci, protože zjistit součet; geometrická řada konverguje pro |q| < 1; nutné kriterium konvergence, srovnávací kriterium (pro které je ideální znát co nejvíc řad, které konvergují a které divergují), podílové kriterium a odmocninové kriterium (srovnáváme se správnou geometrickou řadou); příklady 1abcd. Sada příkladů: PDF PS.
• 10.12.2012 - bonusová hodina na řady; diagram průběhu posloupnosti pro posloupnost 6a z minula: PDF; připomenutí kritérií konvergence a dopočítání posledních tří řad z příkladu 1; různé důkazy divergence harmonické řady (součet členů od n+1 do 2n je alespoň jedna polovina, integrální kriterium); kondenzační kritérium (s důkazem) a jeho aplikace na řady 1/n^alpha, řada konverguje právě když je alpha větší než jedna; srovnávací kriterium na podíl dvou polynomů s vhodnou řadou 1/n^alpha; absolutní konvergence a neabsolutní konvergence, naznačen důkaz Riemannovy věty, že neabsolutně konvergentní řadu lze přerovnat a dostat cokoliv; pomocí řad lze definovat funkce exp, sin a cos a jsou absolutně konvergentní na celém R; ukázka zajímavějšího důkazu Eulerovy věty, že suma 1/p přes všechny prvočísla diverguje (rychlostí log log n), s využitím divergence harmonické řady. Sada příkladů: PDF PS.
• 12.12.2012 - v rovině existuje posloupnost kruhů, které mají konečný součet obsahů, ale protínají každou přímku (sestrojíme kruhy s poloměry jako členy harmonické řady); co je to limita funkce v bodě a co je to spojitost v bodě; spojitost v bodě je silnější, speciálně funkce musí v tomto bodě být definovaná; limita podílu dvou polynomů u nekonečna se počítá stejně jako u posloupností; pro podíl dvou polynomů v bodě a se zkusí dosadit, pokud dosazení selže, je v případě podílu 0/0 vydělit oba polynomy (x-a), protože to musí být kořen; pro limitu a/0 je limita +- nekonečno nebo vůbec nemusí existovat; náznak topologického důkazu, že každý polynom má komplexní kořen. Sada příkladů: PDF PS.
• 19.12.2012 - písemka, bude na 90 minut, se čtyřmi příklady (jeden na limitu posloupnosti, jeden na limitu rekurentně zadané posloupnosti, jeden na řadu, jeden na jednodušší limitu funkce). Pro získání zápočtu bude potřeba alespoň 50%, body se počítají ke zkoušce.
• 2.1.2013 - složitější limity; odstraňování exponenciály a sinu na okolí nuly a logaritmu na okolí jedničky; věta o limitě složené funkce, proč mají předpoklady smysl a jak ji použít; Heineho věta a její dvě možná použití: počítání limity posloupnosti pomocí limity funkce a dokazování neexistence limity funkce pomocí dvou posloupností s různou limitou; příklady z první půlky papíru: PDF PS.
• 9.1.2013 - úvod do derivací; derivace jako směrnice tečny v bodě funkce - geometrická interpretace; derivace jako nelepší polynomiální aproximace funkce v bodě; výpočet derivací pomocí aritmetických pravidel, jak vypadá derivace složené funkce; nějaké příklady na výpočet derivací; základní myšlenka Taylorova polynomu jako nejlepší lokální aproximace funkce na okolí nějakého bodu, vysvětlení, proč dostaneme takovou formulku pro každý z členů. Sada příkladů: PDF PS.