Cvičení NMAI058 LA2, v pátek 12:20, kruh 43

Pro získání zápočtu je nutné napsaní zápočtových písemek na dostatečný počet bodů, tedy získat v součtu alespoň 50 ze 100 bodů. Zápočtové písemky budou dvě, jedna přibližně v půlce a druhá na konci semestru. Písemky však budou těžké, tedy získat dostatek bodů nebude úplně jednoduché. Lze si to však zlehčit získáním bonusových bodů za řešení domácích úkolů a aktivitu na cvičení. Případnou další písemku (pro neúspěšné) budeme řešit individuálně (podle počtu lidí). Docházka není nutná (ani se za ní nezískávají žádné body), ale je doporučená, výrazně vám pomůže se získáním zápočtu a složením zkoušky.

Domácí úkoly budou dvou typů: lehké a těžké. Lehké slouží procvičení látky, kterou jsme dělali na cvičení, budou to podobné jednoduché příklady a stačí v nich aplikovat mechanický postup. Odevzdávají se vždy písemně na dalším cvičení, pokud pro to nemáte nějaký dobrý důvod (například kvůli nemoci). Těžké úlohy vyžadují většinou nějaký nápad, může se jednat o nějakou aplikaci a proto jsou bodově lépe ohodnoceny. Navíc pro ně není omezený termín na odevzdání.

Konzultační hodiny nevypisuji, ale lze si je domluvit po mailu. Ideální doba je například na konci cvičení. Pro zopakovaní látky prvního semestru si můžete projít prezentaci o lineární algebře, kterou jsem nedávno stvořil na předmět Počítačová grafika: Procházka světem vektorových prostorů (PDF). Snažil jsem se v ní o intuitivní geometrická vysvětlení pojmů z lineární algebry v souvislosti s lineárními zobrazeními. Jsou v ní i naznačeny další partie lineární algebry, které budeme probírat v tomto semestru.

Písemka je opravena! Přineste si na příští hodinu index a pokud vám chybí, zkuste vyřešit nějaké domácí úkoly (klidně i starší, stejně jsme většinou na cvičení řešení neukazovali).

Domácí úkoly

• 26.02.2010 - vyřešte příklady 1bcd (po 2 bodech), 2bcd, 4bce (po 1 bodu) a 5 (za 3 body) ze zadaných příkladů (PDF).
• 05.03.2010 - vyřešte příklady 1def (po 1 bodu), 4 (2 body + 5 bodů za obecné řešení), 5 (2 body) ze zadaných příkladů (PDF). S řešením není potřeba spěchat, není potřeba odevzdávat na příští hodině.
• 02.04.2010 - vyřešte příklady 3cd (po 1 bodu) ze zadaných příkladů (PDF).
• 09.04.2010 - vyřešte příklady 1bc (po 2 bodech), 3lmn (po 3 bodech), 5c (vyřešit jinak, podle nápadu :)) a 6 (za 3 body) ze zadaných příkladů (PDF).
• 23.04.2010 - vyřešte příklady 2bcd (po 1 bodu) a 3 (3 body) ze zadaných příkladů (PDF). Řešení není potřeba odevzdávat na příští hodině.
• 30.04.2010 - vyřešte příklady 4 (2 body), 5 (2 body), 6bc (po 2 bodech) ze zadaných příkladů (PDF). Řešení není potřeba odevzdávat na příští hodině. Můžete také vyřešit příklad 1 z minulé série (řekneme za 15 až 20 bodů celý, ale něco není úplně snadné).
• 07.05.2010 - vyřešte příklady 1 (po 2 bodech), 2 (2 body), 3 (2 body), 4 (2 body) a 5 (2 body) ze zadaných příkladů (PDF). Teoretickými úlohami se asi budeme trochu zabývat na posledním cvičení.

Těžké úlohy

Přesná zadání naleznete v přiloženém souboru: PDF PS.

• Konečná tělesa existují pouze pro velikosti mocnina prvočísla (moc hezký důkaz s překvapivým úskokem, zatím jenom první půlka). (15 bodů)
• Determinant je multilineární alternující forma (aneb jiný pohled na definici determinantu). (15 bodů)

Co jsme dělali na cvičeních

• 26.02.2010 - úvodní cvičení; opakování prvního semestru lineární algebry - souvislosti lineárních zobrazení, ranků a Gaussovy eliminace; permutace a jejich znaménka, skládání a zapisování permutací; definice determinantu a několik ukázkových příkladů; zadané příklady ke stažení: PDF.
• 05.03.2010 - počítání obtížnějších determinantů; determinanty antisymetrických matic liché velikosti jsou nulové; geometrická interpretace determinantu, determinant lze ekvivalentně popsat vlastnostmi (bude jako těžký úkol); zadané příklady ke stažení: PDF.
• 12.03.2010 - cvičení spojené se cvičením Alexandra Kazdy v T9; cvičná písemka na hledání adjungované matice; determinanty matic nad různými tělesy (komplexní čísla, Z₅); geometrický význam determinantu (znovu); počet koster úplného grafu pomocí determinantu.
• 19.03.2010 - první zápočtová písemka (v T9 na cvičení Alexandera Kazdy) (PDF); příklady na přípravu: PDF.
• 26.03.2010 - počítání determinantu pomocí řadkového rozvoje - využití na matice nxn; úvod do vlastních čísel - vysvětlení významu a definice; geometrická motivace vlastních čísel.
• 02.04.2010 - vlastní čísla a vlastní vektory geometrických zobrazení (zvětšení, zkosení, zrcadlení, projekce, rotace); vlastní čísla malých matic; součet vlastních čísel je stopa matice a součin je determinant; operace součtu a součinu matic mění vlastní čísla a vlastní vektory - chyba ve falešném důkazu; motivace vlastních čísel na řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic; zadané příklady ke stažení: PDF
• 09.04.2010 - diagonalizace matice - příklady, motivace a souvislost s vlastními vektory; matice je diagonalizovatelná, pokud má n lineárně nezávislých vlastních vektorů; postačující podmínka: všechna vlastní čísla jsou různá; výpočet obyvatelstva v Kalifornii a Fibonnaciho čísel; odečtení násobku jednotkové matice posouvá vlastní čísla a nemění vlastní vektory - každou matici lze napsat jako součet dvou regulárních matic; zadané příklady ke stažení: PDF
• 16.04.2010 - Jordanova forma a její důsledky; rank matice je n - počet nezávislých vlastních vektorů příslušejících k vlastnímu číslu 0; podobnost jako akce grupy regulárních matic na množinu všech matic (její orbity - třídy ekvivalence, jsou navzájem podobné matice); tedy podobnost je ekvivalence na množině matic - stejná zobrazení vyjádřená vůči různým bazím; jednotková a nulová matice je podobná jenom sama sobě.
• 23.04.2010 - skalární součin a kolmosti vektorů; zvláštní vlastnosti ortogonálních matic; proč každá pěkná báze má svoje vlastní vektory ortogonální; ortogonální doplněk podprostoru "pokrývá" zbytek prostoru - součet jejich dimenzí je dimenze prostoru; řádkový prostor a kernel libovolné matice jsou svoje ortogonální doplňky; ortogonální projekce na prostor a její využití - vzdálenost vektoru a podprostoru; každá matice je bijekce mezi řádkovým prostorem a sloupcovým prostorem, projekci do kernelu zahazuje - to vede k definici pseudoinverze (invertuje všechny vektory ze sloupcového podprostoru do řádkového, nejlepší možná inverze matice), jak ji najít někdy příště; zadané příklady ke stažení: PDF
• 30.04.2010 - ortogonalita a jak to souvisí s problémem nejmenších čtverců; pokud pro zadanou soustavu neexistuje řešení, chceme nalézt nejbližší řešení - což je kolmá projekce do sloupcového prostoru; ortogonalita funkcí sin a cos, které tedy tvoří ortogonální bázi; hledá koeficientů lineární kombinace vůči této bázi - koeficientů Fourierovy řady; zadané příklady ke stažení: PDF
• 07.05.2010 - kvadratické formy a pozitivně definitní matice; motivace - hledání extrémů funkcí více proměnných, první derivace jsou nulové a druhé derivace dávají kvadratickou formu, tedy dostáváme symetrickou matici koeficientů kvadratické formy a funkce má lokální minimum, právě když je matice pozitivně definitní; několik ekvivalentních kriterií pro určování pozitivní definitnosti - vlastní čísla jsou nezáporná, matice má nezáporné pivoty, determinanty čtvercových podmatic obsahujících horní roh jsou kladné, existuje Choleského rozklad; LDU dekompozice matice a počítání Choleského rozkladu.
• 14.05.2010 - psala se druhá písemka.