Cvičení NMAI057 LA, ve středu 12:20, kruh 44

Pro získání zápočtu je nutné napsaní zápočtových písemek na dostatečný počet bodů, tedy získat v součtu alespoň 34 ze 60. Zápočtové písemky budou dvě, jedna přibližně v půlce a druhá na konci semestru. Písemky však budou docela těžké, tedy získat dostatek bodů nebude úplně jednoduché. Lze si to však zlehčit získáním bonusových bodů za řešení domácích úkolů a aktivitu na cvičení. Případnou další písemku (pro neúspěšné) budeme řešit individuálně (podle počtu lidí). Docházka není nutná (ani se za ní nezískávají žádné body), ale je doporučená, výrazně vám pomůže se získáním zápočtu a složením zkoušky.

Domácí úkoly budou dvou typů: lehké a těžké. Lehké slouží procvičení látky, kterou jsme dělali na cvičení, budou to podobné jednoduché příklady a stačí v nich aplikovat mechanický postup. Odevzdávají se vždy písemně na dalším cvičení, pokud pro to nemáte nějaký dobrý důvod (například kvůli nemoci). Těžké úlohy vyžadují většinou nějaký nápad, může se jednat o nějakou aplikaci a proto jsou bodově lépe ohodnoceny. Navíc pro ně není omezený termín na odevzdání.

Konzultační hodiny nevypisuji, ale lze si je domluvit po mailu. Ideální doba je například na konci cvičení. Pokud se připravujete na zkoušku, můžete si projít prezentaci o lineární algebře, kterou jsem nedávno stvořil na předmět Počítačová grafika: Procházka světem vektorových prostorů (PDF). Snažil jsem se v ní o intuitivní geometrická vysvětlení pojmů z lineární algebry v souvislosti s lineárními zobrazeními.

Písemky by měli být opravené snad všechny. Pokud jste pokazili početní část písemky, můžete si do přístě spočítat jako úkol příklady 1, 2 a 3, dostanete za ně nějaké body. Náhradní písemka (pro ty, co některou nepsali nebo mají málo bodů) bude ve středu 20.1., kolem 14:00 se sejdeme na třetím patře na chodbě KAMu (chodba, co se náchází před S3). Písemka bude trvat približně hodinu a půl a bude v ní vše, co jsme za semestr probrali. Jiná náhradní písemka už nebude, takže se ni zkuste připravit pořádně. Pokud by vám termín nevyhoval, zkuste mi co nejdřív napsat. Pokud nemáte zapsaný zápočet v indexu, zastihnete mě například v tento termín, jinak mi napište mail.

Všechny úkoly je možné odevzdávat už na libovolné hodině (ale radši je stejně doneste dřív). Tedy pokud jste nějakou z posledních sérií nestihli, klidně ji odevzdejte po Vánocích.

Domácí úkoly

• 29.09.2009 - vyřešte soustavu rovnic zadanou matici, pozor, v zadání z hodiny je překlep! PDF PS.
• 06.10.2009 - vyřešte příklad 5 ze zadaných příkladů (PDF): proložte kružnici třemi body v rovině (1 bod).
• 13.10.2009 - vyřešte příklady 1d a 4 (po 0.5 bodu) a příklad 7 (1.5 bodu) ze zadaných příkladů (PDF).
• 20.10.2009 - vyřešte příklady 2hijl a 3ab (po 0.5 bodu) ze zadaných příkladů (PDF). V důkazech dbejte na to, aby bylo jasné, proč jsou jednotlivé kroky správně (tedy například pokud využíváte komutativitu reálných čísel, nezapomeňte to nad rovnost napsat).
• 27.10.2009 - vyřešte příklady 1e (0.5 bodu), 3 (1 bod), 4 (1 bod) a 5 (0.5 bodu) ze zadaných příkladů (PDF).
• 03.11.2009 - vyřešte příklady 1c (1 bod) a 4 (1 bod) ze zadaných příkladů (PDF).
• 10.11.2009 - vyřešte příklady 1de (1 bod), 2 (1 bod) a 3a (0.5 bodu) ze zadaných příkladů (PDF).
• 01.12.2009 - vyřešte podobné příklady jako v písemce: 1 (3 body) a 2 (3 body) (PDF PS).
• 08.12.2009 - vyřešte příklady 2 (1 bod), 4 (2 body) ze zadaných příkladů (PDF) a nalezněte mocniny prvků v tělesech (1.5 bodu) (PDF).
• 15.12.2009 - vyřešte vše, co jsme nestihli: příklady 1ef (1 bod), 2 (3 body), 4cd (1 bod), 5 (1 bod), 6 (2 body), 7 (1.5 bodu), 8 (1.5 bodu), 9 (1 bod), 10 (1.5 bodu) ze zadaných příkladů (PDF).

Těžké úlohy

Přesná zadání naleznete v přiloženém souboru: PDF PS.

• Rozhodněte, zda existují dvě roviny v R⁴, které se protínají právě v jednom bodě. (1 bod).
• Na cvičení jsme si ukazovali výpočet Fibonnaciho čísel pomocí umocňování matic, zobecněte postup pro libovolnou rekurentní posloupnost. (3 body).
• Dokažte vlastnosti o násobení permutačních matic a jejich inverzích. (3 body)
• Rozhodněte, které bitové operace tvoří grupu a které nikoliv. (2 body)
• Dokažte, že konečná tělesa existují pouze pro velikosti mocnina prvočísla (moc hezky důkaz s překvapivým úskokem, zatím jenom první půlka). (5 bodů)

Co jsme dělali na cvičeních

• 29.09.2009 - úvodní cvičení; geometrické úlohy, které vedou na řešení soustav lineárních rovnic (průnik přímek v rovině, rovin v prostoru); obecný postup pro řešení soustav lineárních rovnic a jejich maticový zápis.
• 06.10.2009 - cvičil Robert Brunetto; příklady na řešení soustavy rovnic pomocí Gaussovy metody, možností popsání všech řešení soustavy (parametrické vyjádření); zadané příklady ke stažení: PDF.
• 13.10.2009 - další příklady na soustavy lineárních rovnic, rozebírali jsme, co znamená pravá strana soustavy a jak může změnit řešení (řešení buď neexistují, nebo jsou pouze navzájem posunutá), a vztah nulové a nenulové pravé strany; zadané příklady ke stažení: PDF.
• 20.10.2009 - koeficienty polynomů procházejících danými body, matice a jejich operace, násobení matic a důkazy jejich vlastností pro sčítání, rychlý výpočet Fibonnaciho čísel (pomocí umocňování matic); zadané příklady ke stažení: PDF.
• 27.10.2009 - hledání inverzní matice, nutná a postačující podmínka pro její existenci, speciální typy matic (příklad 2) a jaké operace provádějí při součinu, definice permutační matice; zadané příklady ke stažení: PDF.
• 03.11.2009 - řešení maticových rovnic, pomocí sčítání, násobení a inverzí, definice grupy, jednoznačnost jednotky a inverze, matice se sčítáním a násobením, co tvoří grupu a co ne; zadané příklady ke stažení: PDF.
• 10.11.2009 - axiomy tělesa a jeho vlastnosti, jednoznačnost součtu a součinu, ukázky konečných těles Z₂ a Z₅; zadané příklady ke stažení: PDF.
• 24.11.2009 - cvičil Robert Brunetto; psala se písemka: PDF.
• 01.12.2009 - správné řešení příkladů z písemky; aplikace grup - grupa jako symetrie daného objektu (symetrie pravidelného mnohoúhelníka, symetrie grafů - grupa isomorfismů, symetrie Rubikovy kostky); aplikace těles - pravidelné objekty (konečné projektivní roviny nebo perfektní kódy).
• 08.12.2009 - příklady na počítání velkých mocnin nad tělesy; definice vektorového prostoru (špatně, chybí axiom 1*u = u); ukázky vektorových prostorů; zadané příklady ke stažení: PDF
• 15.12.2009 - lineárně nezávislé množiny, lineární obaly, generátory a báze; zjišťování nezávislosti množin; vztahy závislosti a nezávislosti vůči inkluzi; doplňování na bázi (trik s jinou, třeba kanonickou, bází); báze jako souřadný systém a vyjádření vektoru vůči jiné bázi; zadané příklady ke stažení: PDF
• 05.01.2010 - psala se písemka: PDF.